Konačni Parsevalovi bazni okviri

diplomski rad

• Autor: Filip Jurman
• Mentor: Ljiljana Arambašić (mentor)
• Član povjerenstva: Ljiljana Arambašić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Muha (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Igor Pažanin (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin Šipuš (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2019-09-25, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Ovaj rad sastoji se od četiri cjeline. U prvoj cjelini definiramo \(\mathbb{R}^n\)-bazni okvir i istražujemo njegova svojstva. Nakon toga definiramo Parsevalove skupove u \(\mathbb{R}^n\) pomoću kojih definiramo Parsevalove bazne okvire. Donosimo karakteristike koje su važne za njih te dajemo jedan primjer Parsevalovog baznog okvira iz kojeg se lijepo vide njegove specifičnosti. Na kraju cjeline govorimo o napetim baznim okvirima u prostoru \(\mathbb{R}^2\) te dajemo njihovu geometrijsku interpretaciju. U drugoj cjelini, za proizvoljne konačnodimenzionalne unitarne prostore definiramo općenite bazne okvire, čime proširujemo pojam \(\mathbb{R}^n\)-baznih okvira. U toj cjelini istražujemo rezultate i svojstava operatora analize i sinteze, kao i operator baznog okvira te Grammov operator. U trećoj cjelini bavimo se dualnim baznim okvirima, opisujemo njihova svojstva te spominjemo kanonske dualne bazne okvire. Specifično svojstvo Parsevalovih baznih okvira je da su to bazni okviri koji su sami sebi dualni, te su zbog doga najpogodniji u rekonstrukciji vektora. Na kraju rada predstavljamo numeričke algoritme pomoću kojih se mogu rekonstruirati vektori bez invertiranja operatora baznog okvira.

Sažetak (engleski)

This thesis consists of four parts. In the first part we define the \(\mathbb{R}^n\)-frame and investigate its properties. Then we define Parseval sets in \(\mathbb{R}^n\), which we use to define Parseval frames. We present their most important properties, and give an example of a Parseval frame which shows their advantages among other frames. At the end of this chapter we consider tight frames in \(\mathbb{R}^2\) and give their geometric interpretation. In the second part we define general frames for arbitrary finitedimensional inner product spaces, which extends the term of \(\mathbb{R}^n\)-frames. In this chapter we investigate results and properties of the analysis and synthesis operators, as well as the frame operator, and Grammian operator. In the third part we examine dual frames, describe their properties, in particular the canonical dual frames. Specific property of Parseval frames is that they are frames which are dual to itself, and therefore optimal for reconstruction of vectors. Finally, we present numerical algorithms which can be used to reconstruct vectors without inverting the frame operator.

• Ključne riječi: Parsevalovi skupovi; Parsevalovi bazni okviri; konačnodimenzionalni unitarni prostori; operatori analize i sinteze; operator baznog okvira; Grammov operator
• Ključne riječi (engleski): Parseval sets; Parseval frames; finitedimensional inner product spaces; analysis and synthesis operators; frame operator; Grammian operator
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:095666
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2020-02-05 12:19:07