| Sažetak | U ovome radu cilj nam je bio proučiti i opisati osnovna svojstva bezuvjetnih baza. U prvome poglavlju smo uveli rezultate iz raznih područja koji su nam bili potrebni za opis problema. U drugom poglavlju smo opisali baze na Banachovim prostorima i njihova svojstva, počevši od Hamelovih baza, s kojima smo se prije susreli u konačnodimenzionalnim prostorima. Definirali smo i opisali neke vrste baza (bezuvjetne, apsolutno konvergentne, ograničene i normalizirane baze), detaljnije smo proučili Schauderove baze, te smo opisali i proučili svojstvo ekvivalencije baza u beskonačnodimenzionalnim Banachovim prostorima. Također, proučili smo i trigonometrijski sustav, \( {\{e^2\pi int}\}_n\in\mathbb{Z}\). U trećem poglavlju pozabavili smo se svojstvima baza: definicijom, svojstvima minimalnosti i biortogonalnosti, te karakterizacijom Schauderovih baza i minimalnih nizova. Također smo se pozabavili pitanjem nezavisnosti u beskonačnodimenzionalnim prostorima. U zadnjem poglavlju smo opisali bezuvjetne baze. Proučili smo njihova osnovna svojstva i karakterizaciju, uveli pojam bezuvjetne bazne konstante i naučili kako ju najbolje odrediti, te smo uvidjeli da Schauderov sustav ne može biti bezuvjetan. |
| Sažetak (engleski) | In this paper, our goal was to analyze and describe the properties of unconditional bases. In the first chapter, we’ve introduced the results we needed to describe the problem. In the second chapter, we have defined the bases on Banach spaces and described their properties, starting with Hamel bases, which we referred to as bases in finite dimensional spaces. We have defined and described several types of bases (such as the unconditional bases, absolutely convergent bases, bounded bases, and normalized bases), we studied Schauder bases in detail, and have described equivalence of bases in infinite dimensional Banach spaces. Also, we’ve described the trigonometric system, \( {\{e^2\pi int}\}_n\in\mathbb{Z}\). In the third chapter, we had a closer look at basis properties: definition, minimality, biorthogonality, and independence when in infinite dimensional Banach spaces. We’ve characterized Schauder bases and minimal sequences and found out how minimality and Schauder bases are related.. In the last chapter, we’ve described the unconditional bases. We characterized them, described their basic properties, introduced the definition of unconditional basis constant (its properties, and how to find it). At last, we’ve shown that the Schauder system cannot be unconditional. |
