Strogo konveksni i glatki normirani prostori

diplomski rad

• Naslov (engleski): Strictly convex and smooth standard spaces
• Autor: Matea Jakovljević
• Mentor: Tomislav Berić (mentor)
• Član povjerenstva: Tomislav Berić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Eduard Marušić-Paloka (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Erceg (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2021-07-22, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovome radu smo uveli strogo konveksne i glatke normirane prostore, te izveli brojne karakterizacije i svojstva. Prvo smo promatrali strogo konveksne prostore i vidjeli njihovu vezu s Hahn-Banachovim teoremom, kao i s potpornim funkcionalima te ekstremalnim skupovima. Vidjeli smo da na refleksivnim strogo konveksnim prostorima vrijedi analogon Rieszovog teorema o projekciji. Međutim, pokazali smo da refleksivnost nije nužno svojstvo strogo konveksnih prostora, te smo uveli uniformno konveksne prostore koji su nužno refleksivni. Potom smo promatrali glatke prostore i uveli pojam Gˆateauxove derivacije norme. Pokazali smo da je normiran prostor strogo konveksan ako mu je dualni prostor gladak, te je gladak ako mu je dualni prostor strogo konveksan. Nadalje, vidjeli smo da refleksivnost nije nužno svojstvo ni glatkih prostora, ali je uniformno glatkih. Također, pokazali smo da je normiran prostor uniformno gladak ako i samo ako mu je dualni prostor uniformno konveksan, te je uniformno konveksan ako i samo ako mu je dualni prostor uniformno gladak.

Sažetak (engleski)

In this thesis, we have introduced strictly convex and smooth normed spaces, and performed numerous characterizations and properties. We first observed strictly convex spaces and saw their connection with the Hahn-Banach theorem, as well as with support functionals and extreme sets. We have seen that an analogue of Riesz’s projection theorem holds on reflexive strictly convex spaces. However, we have shown that reflexivity is not necessarily a property of strictly convex spaces, and we have introduced uniformly convex spaces that are necessarily reflexive. We then observed smooth spaces and introduced the notion of Gˆateaux derivation of the norm. We have shown that a normed space is strictly convex if its dual space is smooth, and it is smooth if its dual space is strictly convex. Furthermore, we have seen that reflexivity is not necessarily a property of smooth spaces either, but it holds for uniformly smooth spaces. Also, we have shown that a normed space is uniformly smooth if and only if its dual space is uniformly convex, and it is uniformly convex if and only if its dual space is uniformly smooth.

• Ključne riječi: Hahn-Banachov teorem; Rieszov teorem; Gˆateauxova derivacija norme
• Ključne riječi (engleski): Hahn-Banach theorem; Riesz’s projection theorem; Gˆateaux derivation of the norm
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:431238
• Studijski program: Naziv: Primijenjena matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2021-09-15 09:59:20