Teorem o pakiranju krugova

diplomski rad

• Naslov (engleski): The circle packing theorem
• Autor: Nikolina Rašić
• Mentor: Tomislav Pejković (mentor)
• Član povjerenstva: Tomislav Pejković (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2021-12-02, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Američki matematičar William Paul Thurston revidirao je 1970-ih teorem njemačkog matematičara Paula Koebea iz 1930-ih koji je veza između planarnih grafova i pakiranja krugova. Koebeov teorem je postao temelj za danas poznati Koebe-Andreev-Thurstonov teorem, još znan pod imenom Teorem o pakiranju krugova. Jedan od iskaza teorema o pakiranju krugova glasi: Za svaki planarni graf G sa skupom vrhova \(V=\{v_1,...,v_n \}\) i skupom bridova E, postoji pakiranje \(\mathcal{C}=\{C_1,...,C_n\}\) od n (ne nužno sukladnih) krugova u ravnini sa svojstvom da se \(C_i\) i \(C_j\) dodiruju ako i samo ako je \(\{v_i, v_j\}\in E\), za svaki \(i,j\in \{1,...,n\}\), \(i \neq j\). Ovaj diplomski rad podijeljen je na četiri poglavlja. U prvom poglavlju navodimo ona preslikavanja ravnine potrebna za dokaz Apolonijevog teorema i teorema o pakiranju krugova. U drugom poglavlju navodimo iskaz i dokaz Apolonijevog teorema kao jedan primjer pakiranja krugova prije nego li se uopće promatrao taj problem. Kako je Koebeov teorem poveznica planarnih grafova i pakiranja krugova, u trećem poglavlju navodimo osnovne pojmove teorije grafova. U posljednjem poglavlju navodimo nekoliko iskaza teorema o pakiranju krugova te jedan kombinatorni dokaz proveden u tri koraka.

Sažetak (engleski)

American mathematician William Paul Thurston revised in the 1970s a theorem of German mathematician Paul Koebe from the 1930s connecting planar graphs and circle packings. Koebe’s theorem became the foundation for the Koebe-Andreev-Thurston theorem, also known as The circle packing theorem. One statement of the circle packing theorem is the following. Given any finite simple planar graph G = (V; E), with the set of vertices \(V=\{v_1,...,v_n \}\), there exist n circles in the plane, \(\mathcal{C}=\{C_1,...,C_n\}\), with disjoint interiors, such that \(C_i\) is tangent to \(C_j\) if and only if \(\{v_i, v_j\}\in E\). This graduate thesis is divided into four chapters. In the first one, we introduce those transformations of the plane needed to prove Apollonius’ theorem and the circle packing theorem. In the second chapter, we present the statement and proof of Apollonius’ theorem as one example of circle packing before this problem was even observed. As Koebe’s theorem is a connection between planar graphs and circle packings, in the third chapter we list some basic concepts of graph theory. In the last chapter, we present several statements of the circle packing theorem and one combinatorial proof conducted in three steps.

• Ključne riječi: William Paul Thurston; Paul Koebe; Koebe-Andreev-Thurstonov teorem; Apolonijev teorem; teorija grafova
• Ključne riječi (engleski): William Paul Thurston; Paul Koebe; Koebe-Andreev-Thurston theorem; Apollonius theorem; graph theory
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:407291
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2021-12-16 12:49:47