Dinamika grabežljivac-plijen populacijskih modela

diplomski rad

• Naslov (engleski): Predator-prey dynamics of population models
• Autor: Matea Vila
• Mentor: Maja Resman (mentor)
• Član povjerenstva: Maja Resman (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Damir Bakić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Tadić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Matko Ljulj (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2023-09-28, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu promatramo modele ponašanja populacija u vremenu. Prvo promatramo ponašanje jedne populacije kroz Malthusov i logistički model rasta. Zatim promatramo interakcije dvije populacije pomoću grabežljivac-plijen modela. Radimo kvalitativnu analizu ponašanja trajektorija u vremenu bez eksplicitnog rješavanja jednadžbi. Kroz rad proučavamo ekvilibrije linearnih i nelinearnih sustava te pripadajuće fazne portrete. Analizu faznih portreta linearnih sustava radimo s obzirom na svojstvene vrijednosti matrice sustava. Koristimo Hartman-Grobmanov teorem koji povezuje izgled trajektorija nelinearnih sustava i njegove linearizacije u slučaju hiperboličkog ekvilibrija. Objasnili smo da za grabežljivac-plijen (Lotka-Volterra) model postoje dva ekvilibrija, jedan je sedlo, a drugi centar. Na drugi ekvilibrij \(\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right) \) grabežljivac-plijen modela ne možemo primijeniti Hartman-Grobmanov teorem, nego dokazujemo da su trajektorije rješenja oko ekvilibrija \(\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right) \) zatvorene. To objašnjava periodično ponašanje populacije grabežljivaca i populacije plijena u vremenu.

Sažetak (engleski)

In this thesis, we consider population behavior models over time. First, we examine the behavior of a single population through the Malthusian and logistic growth models. Next, we consider the interactions of two populations using the predator-prey model. We conduct a qualitative analysis of the system over time without explicitly solving the equations. Throughout the work, we study the equilibria of linear and nonlinear systems, along with their corresponding phase portraits. The analysis of phase portraits of linear systems is based on the eigenvalues of the matrix of the system. We use the Hartman-Grobman theorem, which connects the trajectories of nonlinear systems and their linearizations in the case of hyperbolic equilibrium. We explain that for the predator-prey model, two equilibria exist: one is a saddle, and the other is a center. For the second equilibrium \(\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right) \) of the predator-prey model, the Hartman-Grobman theorem cannot be applied. We show that around second equlibrium solution trajectories are closed, which explains the periodic behavior of the predator and prey populations over time.

• Ključne riječi: ponašanja populacija; Malthusov model rasta; logistički model rasta; Hartman-Grobmanov teorem
• Ključne riječi (engleski): population behavior; Malthusian model; logistic growth model; Hartman-Grobman theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:144887
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: sveučilišni magistar matematike (univ. mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2024-02-06 16:11:56