Dokazi prebrojavanjem

diplomski rad

• Autor: Helena Štimac
• Mentor: Vedran Krčadinac (mentor)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mea Bombardelli (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nina Kamčev (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Igaly (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2024-11-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U radu se kroz tri poglavlja upoznajemo s kombinatornim interpretacijama Fibonaccijevih brojeva, verižnih razlomaka te binomnih koeficijenata i kombinacija s ponavljanjem. Poglavlje o Fibonaccijevim brojevima posebno približava tehnike dokazivanja prebrojavanjem te služi kao temelj u razmišljanju o daljnjim poglavljima i složenijim problemima. Iskazano je mnoštvo identiteta. Svaki identitet dokazujemo na elegantan način temeljen na konceptu prebrojavanja. U radu dokaze provodimo na dva načina, dvostrukim prebrojavanjem istog skupa ili prebrojavanjem dva različita skupa, a zatim uspostavljanjem bijekcije između njih. U oba slučaja slijedit će jednakost između lijeve i desne strane identiteta. Iako nije uvijek najjednostavniji pristup, prebrojavanje nam omogućuje potpuno drugačije shvaćanje i razumijevanje problema. Ovim radom želimo čitatelju dočarati moć prebrojavanja kada je u pitanju dokazivanje kombinatornih identiteta.

Sažetak (engleski)

In this thesis, through three chapters, we introduce combinatorial interpretations of Fibonacci numbers, continued fractions, binomial coefficients and combinations with repetition. In the chapter on Fibonacci numbers we get acquainted with proof techniques by counting. It serves as a foundation for further chapters and more complex problems. Many identities are expressed. We give an elegant proof based on counting for each identity. In this thesis, counting arguments are carried out in two ways, by double counting the same set or by counting two different sets and then establishing a bijection between them. In both cases, equality between the left and right side of the identity will follow. Although it is not always the simplest approach, counting allows us to see and understand the problem in a completely different way. With this thesis, we want to convey to the reader the power of counting arguments when it comes to proving combinatorial identities.

• Ključne riječi: Fibonaccijevi brojevi; verižni razlomci; binomni koeficijenti; kombinacije s ponavljanjem; kombinatorne interpretacije; identiteti; tehnike dokazivanja prebrojavanjem; dvostruko prebrojavanje skupa; uspostavljanje bijekcije između dvaju skupova
• Ključne riječi (engleski): Fibonacci numbers; continued fractions; binomial coefficients; combinations with repetition; combinatorial identities; proof techniques by counting; double counting the same set; establishing a bijection between two sets
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:100418
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: sveučilišni magistar matematike (univ. mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2024-11-11 13:22:02