On the limiting behaviour of geometric functionals of convex hulls of random walks

doktorski rad

• Naslov (hrvatski): O graničnom ponašanju geometrijskih funkcionala konveksnih ljuski slučajnih šetnji
• Autor: Tomislav Kralj
• Mentor: Nikola Sandrić (mentor)
• Mentor: Stjepan Šebek (komentor)
• Član povjerenstva: Bojan Basrak (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Hrvoje Planinić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Stjepan Šebek (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nikola Sandrić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2024-12-06, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

In this dissertation, we study the asymptotic behavior of the convex hull generated by several mutually independent random walks. In the first chapter, we show that the convex hull, appropriately scaled, almost surely converges to the convex hull generated by the corresponding drift vectors and the origin. Then, by applying the continuous mapping theorem, we also demonstrate almost sure convergence of all intrinsic volumes, which implies almost sure convergence of the perimeter. Using a similar argument, we obtain almost sure convergence of the diameter process. In the next chapter, we move on to explore the distributional limit of the perimeter process. To successfully control the variance, we use the technique of martingale difference sequences and Cauchy’s formula. In the end, we obtain a very interesting and intuitive \(L^2\) approximation for the deviation of the perimeter process. Under certain assumptions about the drift vectors of the random walks, we determine the asymptotic behavior of the variance of the perimeter. We can establish a normal distributional limit if this asymptotic variance is positive. Following this, we focus on the diameter process, where it becomes crucial to note that the mapping that assigns diametral segments to polygons with the unique diametral segment is continuous. Finally, with the additional assumption about the set of drift vectors, we achieve results analogous to those for the perimeter process. In the final chapter, we will study the convex hull of centroids generated by a single random walk. We open a discussion on generalizing the assumptions made for the observed random walks and provide a detailed simulation study to explore what happens when these assumptions are not satisfied.

Sažetak (hrvatski)

U ovoj disertaciji istražujemo granično ponašanje konveksne ljuske definirane pomoću nezavisnih slučajnih šetnji. U prvom poglavlju dokazujemo da konveksna ljuska, prikladno skalirana, gotovo sigurno konvergira prema konveksnoj ljusci definiranoj pripadnim drift vektorima i nulom. Primjenom teorema o neprekidnom preslikavanju, dokazujemo gotovo sigurnu konvergenciju svih intrinzičnih volumena, što implicira gotovo sigurnu konvergenciju opsega. Korištenjem slične argumentacije postiže se gotovo sigurna konvergencija procesa dijametra. U idućem poglavlju analiziramo distribucijski limes procesa opsega. Kako bismo uspješno kontrolirali varijancu, koristimo tehniku niza martingalnih razlika i Cauchyjevu formulu. Na kraju, dobivamo izuzetno zanimljivu i intuitivnu \(L^2\) aproksimaciju za devijaciju procesa opsega. Pod određenim pretpostavkama o drift vektorima slučajnih šetnji, određujemo granično ponašanje varijance opsega, te ako je ta granična varijanca pozitivna, možemo zaključiti normalni distribucijski limes. Nakon toga, usmjeravamo se na proces dijametra, gdje se uz prethodno spomenute alate ključnom pokazuje činjenica da je preslikavanje koje poligonima pridružuje dijametralne segmente neprekidno. Na kraju, uz dodatnu pretpostavku o skupu drift vektora, postižu se analogni rezultati kao i za proces opsega. U završnom poglavlju, promatramo konveksnu ljusku generiranu s centrima mase jedne planarne slučajne šetnje. Nakon toga, otvaramo diskusiju o poopćavanju pretpostavki koje smo postavili za promatrane slučajne šetnje i pružamo simulacijsku studiju koja istražuje posljedice napuštanja tih pretpostavki. Time se osvjetljavaju otvoreni problemi koji proizlaze iz ove disertacije.

• Ključne riječi: random walk; central limit theorem; strong law of large numbers; convex hull; perimeter length; diameter
• Ključne riječi (hrvatski): slučajna šetnja; centralni granični teorem; jaki zakon velikih brojeva; konveksna ljuska; duljina opsega; dijametar
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:058537
• Projekt: Šifra: IP-2022-10-2277; Naziv: Geometrijska svojstva i teorija potencijala slučajnih procesa; Naziv: Geometric properties and potential theory of stochastic processes; Kratica: GPPTSP; Voditelj: Nikola Sandrić; Pravna nadležnost: Hrvatska; Financijer: Hrvatska zaklada za znanost; Linija financiranja: Research Projects
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: doktorski studij; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica u području prirodnih znanosti (dr. sc. natur.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: v, 136 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2025-01-31 10:25:16