Eulerovi brojevi

diplomski rad

• Naslov (engleski): Eulerian Numbers
• Autor: Filip Vinković
• Mentor: Vedran Krčadinac (mentor)
• Član povjerenstva: Mea Bombardelli (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nela Bosner (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Hrvoje Planinić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2025-02-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika; Diskretna i kombinatorna matematika

Sažetak

Za prirodni broj \(i\) kažemo da je pad u permutaciji \(p=p_{1}p_{2}\ldots p_{n}\in S_{n}\) ako vrijedi \(p_{i}>p_{i+1}.\) Eulerov broj \(\left\langle n\atop k \right\rangle\) označava broj permutacija stupnja \(n\) s točko \(k\) padova. U radu prvo objašnjavamo matematičke principe poput prebrojavanja, permutacija i binomnih koeficijenata kako bismo osigurali podlogu za razumijevanje nastavka rada. Eulerove brojeve definiramo kroz koncept padova u permutacijama, što omogućuje istraživanje njihovih osnovnih svojstava i različitih identiteta koje zadovoljavaju. Posebno su naglašene rekurzivne metode za računanje Eulerovih brojeva, kao i eksplicitne formule. Istražena je i veza između Eulerovih i Stirlingovih brojeva druge vrste, gdje su navedene formule za njihov međusobni odnos. Nakon toga su definirane funkcije izvodnice čiji su članovi Eulerovi brojevi, a u posebnom se dijelu analizira niz Eulerovih brojeva te dokazuje svojstvo log-konkavnosti. Na kraju rada uvodimo koncept Eulerovih brojeva druge vrste i iskazujemo neka njihova osnovna svojstva, kao i eksplicitnu formulu za njihovo računanje.

Sažetak (engleski)

We say that a positive integer \(i\) is a descent of the permutation \(p=p_{1}p_{2}\ldots p_{n}\in S_{n}\) if \(p_{i}>p_{i+1}\) holds. Eulerian number \(\left\langle n\atop k \right\rangle\) denotes the number of \(n\)-permutations with exactly \(k\) descents. The paper begins by explaining basic mathematical principles such as counting, permutations, and binomial coefficients, providing the groundwork for understanding the remainder of the study. Eulerian numbers are defined through the concept of descents in permutations, enabling the exploration of their fundamental properties and various identities they satisfy. Recursive methods for calculating Eulerian numbers, as well as explicit formulas, are emphasized. The relationship between Eulerian numbers and Stirling numbers of the second kind is also examined, with formulas provided for their interconnection. Generating functions whose terms are Eulerian numbers are then defined, and log-concavity of Eulerian numbers is proved. Finally, the concept of second order Eulerian numbers is introduced, outlining their basic properties and presenting an explicit formula for their computation.

• Ključne riječi: Eulerovi brojevi; kombinatorika; Euler
• Ključne riječi (engleski): Eulerian numbers; combinatorics; Euler
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:322327
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: sveučilišni magistar matematike (univ. mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2025-02-09 16:09:14