Algebarski pristup iterativnim metodama tangente i sekante

diplomski rad

• Autor: Marko Sačić
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Josip Tambača (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mladen Vuković (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Bojan Basrak (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2016-02-25, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom diplomskom radu izložen je jedan algebarski pristup poznatim iterativnim metodama za izračunavanje nultočaka realnih funkcija, odnosno u drukčijoj formulaciji, određivanje fiksnih točaka funkcije. Primjena metode sekante interpretira se kao binarna operacija \(\oplus\) na proširenom skupu realnih brojeva \(\overline{\mathbb{R}}\). Razmatraju se moguća algebarska svojstva operacije \(\oplus\) te se pokušavaju naći šire klase funkcija za koje je pripadna operacija asocijativna. Primjenom glasovitog Pascalovog teorema o šesterovrhu upisanom krivulji drugog reda dokazuje se asocijativnost operacije \(\oplus\) za jednu klasu racionalnih funkcija čime se dobiva potpuni analogon početnom primjeru za iterativno određivanje vrijednosti Zlatnog reza različitim metodama: iteracijama niza \(m(x)=1+ \frac{1}{x}\) odnosno nizovima dobivenim primjenom metoda tangente i sekante na polinom \(f(x) = x^2-x-1\). Nadalje, Möbiusove transformacije također pružaju zanimljivo poopćenje tog početnog primjera pri čemu iteracije konvergiraju prema korijenu karakterističnog polinoma Möbiusove transformacije. Navodi se niz primjera koji ilustriraju kako neke dobro poznate operacije poput zbrajanja točaka na eliptičkim krivuljama, relativističkog zbrajanja brzina, zbrajanja otpora serijski ili paralelno spojenih otpornika pa i standardno zbrajanje i množenje realnih brojeva predstavljaju posebne slučajeve binarne operacije \(\oplus\) uz odgovarajući izbor početne funkcije \(f\). Na taj način uočavaju se dublje veze između nekih poznatih rezultata i metoda iz matematičke analize, algebre, geometrije i fizike.

Sažetak (engleski)

In this thesis we present an algebraic approach to some well known iterative methods for calculating roots of real functions or in a different formulation, finding fixed points of functions. The use of the secant method is interpreted as a binary operation \(\oplus\) on the extended set of real numbers \(\overline{\mathbb{R}}\). We consider possible algebraic properties of operation \(\oplus\) and try to find some classes of functions for which this operation is associative. Applying Pascal’s famous Hexagrammum Mysticum Theorem we prove the associativity of operation \(\oplus\) for a class of rational functions and to obtain an analogue of the initial example of determing the value of the Golden Mean by various iterative methods: a sequence of iterations of function \(m(x)=1+ \frac{1}{x}\) and sequences we get by using tangent method and secant method on polynomial \(f(x) = x^2-x-1\). Furthermore, Möbius transformations also provide interesting generalization of the initial example where iterations converge to the root of the characteristic polynomial of the Möbius transformation. We list a variety of examples that illustrate how some well known operations such as the group law on elliptic curves, the velocity addition law of special relativity, the addition of electric resistances in parallel and in series and also the standard addition and multiplication of real numbers are special cases of binary operation \(\oplus\) with an appropriate choice of initial \(f\).

• Ključne riječi: iterativne metode za izračunavanje nultočaka realnih funkcija; Möbiusove transformacije; Pascalov teorem o šesterovrhu upisanom krivulji drugog reda
• Ključne riječi (engleski): iterative methods for calculating roots of real functions; Möbius transformations; Pascal’s famous Hexagrammum Mysticum Theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:650177
• Studijski program: Naziv: Matematika i informatika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike i informatike (mag. educ. math. et inf.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-06 13:41:51