Naslov Brownovo gibanje Autor Marija Šuker Mentor Ante Mimica (mentor)Član povjerenstva Ante Mimica (predsjednik povjerenstva)Član povjerenstva Damir Bakić (član povjerenstva)Član povjerenstva Vjekoslav Kovač (član povjerenstva)Član povjerenstva Goran Muić (član povjerenstva)Ustanova koja je dodijelila Sveučilište u Zagrebu Datum i država obrane 2015-09-23, Hrvatska Znanstveno / umjetničko PRIRODNE ZNANOSTI Sažetak U ovom diplomskom radu smo definirali i opisali Brownovo gibanje, njegovu konstrukciju, neka zanimljiva svojstva i načine simuliranja. Za početak smo definirali Brownovo gibanje i opisali ga kao Gaussovski proces. Za taj opis su nam bile potrebne definicije standardnih normalnih slučajnih vektora, normalnih slučajnih vektora i Gaussovskog procesa. Koristeći te definicije, opisali smo Brownovo gibanje kao Gaussovski proces s neprekidnim trajektorijama, funkcijom očekivanja \(m=0\) i kovarijacijskom funkcijom \(\gamma_{st} = s \wedge t\). U nastavku smo dokazali još neka svojstva standardnih normalnih slučajnih vektora. Zatim smo opisali Lévyjevu konstrukciju Brownovog gibanja, tj. konstruirali smo Brownovo gibanje kao uniformni limes neprekidnih funkcija, što automatski povlači da taj proces ima neprekidne trajektorije. U drugom poglavlju opisali smo i dokazali razna zanimljiva svojstva Brownovog gibanja. Neka jednostavnija svojstva su invarijantnost na skaliranje, na vremensku inverziju, na simetriju i na obnavljanje. Svojstvo invarijantnosti Brownovog gibanja na obnavljanje smo koristili u dokazu Markovljevog svojstva Brownovog gibanja koje zapravo znači da Brownovo gibanje nema memoriju ni povijest. Nadalje, dokazali smo i jako Markovljevo svojstvo Brownovog gibanja koje smo primijenili da bismo pokazali princip refleksije Brownovog gibanja. Princip refleksije je svojstvo koje kaže da je Brownovo gibanje, koje se u nekom vremenu zaustavljanja krene reflektirati, i dalje Brownovo gibanje. Na kraju drugog poglavlja pokazali smo i da je Brownovo gibanje martingal. U trećem poglavlju ispitivali smo regularnost trajektorija Brownovog gibanja. Poglavlje smo podijelili na dva dijela. U prvom dijelu smo ispitivali i pokazivali svojstva neprekidnosti Brownovog gibanja preko Lévyjevog modula neprekidnosti, a u drugom dijelu smo, koristeći razne rezultate poput Hewitt-Savageovog 0-1 zakona i Fatouove leme, dokazali da Brownovo gibanje gotovo sigurno nije nigdje diferencijabilno. Za kraj smo pokazali najjednostavnije načine za simuliranje Brownovog gibanja. Simulacija Brownovog gibanja se temelji na nezavisnosti i normalnoj distribuciji prirasta Brownovog gibanja. Izveli smo nekoliko algoritama i primjera za simuliranje uniformne i normalne distribucije, a na kraju smo simulirali Brownovo gibanje koristeći nezavisnost i normalnu distribuiranost njegovih prirasta.
Sažetak (engleski) In this thesis we have defined and described Brownian motion, its construction, some interesting properties and methods for its simulation. At the beginning we have defined Brownian motion and described it as a Gaussian process. For this description we needed definitions of standard normal random vectors, normal random vectors and Gaussian processes. By using these definitions, we could describe Brownian motion as Gaussian process with continuous sample paths, with mean \(m=0\) and covariance function \(\gamma_{st} = s \wedge t\). In addition, we have proven another properties of standard normal random vectors. Then, we have described Lévy’s construction of Brownian motion, i.e. we have constructed Brownian motion as a uniform limit of continuous functions, to ensure that it automatically has continuous paths. In the second chapter, we have described and proven various interesting properties of Brownian motion. Some of the simplest properties are scaling invariance property, time inversion, symmetry invariance property and renewal invariance property. We have used the renewal invariance property of Brownian motion in the proof of Markov property of Brownian motion. The fact that Brownian motion has Markov property means that Brownian motion does not have memory or history. Furthermore, we have proven strong Markov property of Brownian motion, which we have used to prove the reflection principle of Brownian motion. The reflection principle is property which states that Brownian motion reflected at some stopping time is still a Brownian motion. At the end of the second chapter we have shown that Brownian motion is also a martingale. In the third chapter, we have examined the regularity of Brownian motion. We have divided the chapter into two parts. In the first part we have examined and proven some continuity properties of Brownian motion by using the Lévy’s modul of continuity. In the second part, we have proven, by using results such as Hewitt-Savage 0-1 Law and Fatou’s lemma, that Brownian motion is, almost surely, nowhere differentiable. In the end, we have shown the simplest ways to simulate Brownian motion. The simulation of Brownian motion is based on the independence and normal distribution of increments of Brownian motion. We have shown several examples and algorithms for simulating uniform and normal distribution, and finally we have simulated Brownian motion by using independence and normal distribution of its increments.
Ključne riječi
Brownovo gibanje
Gaussovski proces s neprekidnim trajektorijama
Lévyjeva konstrukcija Brownovog gibanja
svojstvo invarijantnosti Brownovog gibanja
refleksije Brownovog gibanja
martingal
Hewitt-Savageov 0-1 zakon
Fatouova lema
simulacija Brownovog gibanja
Ključne riječi (engleski)
Brownian motion
Gaussian process with continuous sample path
Lévy’s construction of Brownian motion
invariance property of Brownian motion
reflection principle of Brownian motion
Hewitt-Savage 0-1 Law
Fatou’s lemma
simulation of Brownian motion
Jezik hrvatski URN:NBN urn:nbn:hr:217:636410 Studijski program Naziv: Financijska i poslovna matematika Vrsta resursa Tekst Način izrade datoteke Izvorno digitalna Prava pristupa Otvoreni pristup Uvjeti korištenja Datum i vrijeme pohrane 2019-02-14 11:16:23
