Hahn-Mazurkiewiczev teorem

diplomski rad

• Autor: Slavica Vukić
• Mentor: Zvonko Iljazović (mentor)
• Član povjerenstva: Zvonko Iljazović (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Pavle Pandžić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dragutin Svrtan (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mladen Vuković (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-07-13, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Hahn-Mazuriewiczev teorem jedan je od najvažnijih rezultata u povijesti opće topologije, jer u potpunosti rješava problem Peanovih krivulja. Teorem kaže da je Hausdorffov prostor neprekidna slika segmenta ako i samo ako je Peanov kontinuum, odnosno kompaktan, povezan i lokalno povezan metrički prostor. U ovom radu dajemo kratak opis spomenutog problema i predstavljamo jedan dokaz Hahn-Mazurkiewiczevog teorema. Činjenica da je neprekidna slika segmenta Peanov kontinuum jednostavna je posljedica Urysonovog teorema metrizacije i činjenice da je lokalna povezanost očuvana neprekidnim zatvorenim preslikavanjem. Za dokaz drugog smjera Hahn-Mazurkiewiczevog teorema iskoristit ćemo Aleksandrov-Hausdorffov teorem o postojanju neprekidne surjekcije Cantorovog skupa na proizvoljan kompaktan metrički prostor, te ćemo jedno takvo preslikavanje neprekidno proširiti na čitav segment.

Sažetak (engleski)

The Hahn-Mazurkiewicz theorem is one of the most important results in the history of point-set topology, because it completely solves the problem of “space-filling” curves. It states that a Hausdorff space is a continuous image of a line segment if and only if it is a Peano continuum, that is, compact, connected and locally connected metric space. In this B.sc. thesis we give a short description of the problem and present a proof of this theorem. The fact that a continuous image of a line segment is a Peano continuum is a simple consequence of the Urysohn metrization theorem combined with the fact that local connectedness is preserved by a continuous closed map. To prove the other direction of our theorem we use the Aleksandroff-Hausdorff theorem about the existence of continuous mapping of the Cantor set onto an arbitrary compact metric space and we continuously extend this mapping over the line segment.

• Ključne riječi: Hahn-Mazuriewiczev teorem; Hausdorffov prostor; Peanov kontinuum; Peanova krivulja; Urysonov teorem metrizacije; Aleksandrov-Hausdorffov teorem; Cantorov skup
• Ključne riječi (engleski): Hahn-Mazurkiewicz theorem; Hausdorff space; Peano continuum; Peano curve; Urysohn metrization; Aleksandroff-Hausdorff theorem; Cantor set
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:491191
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-20 10:59:47