Scaling properties of stochastic processes with applications to parameter estimation and sample path properties

disertacija

• Naslov (hrvatski): Svojstva skaliranja slučajnih procesa s primjenama u procjeni parametara i svojstvima trajektorija
• Autor: Danijel Grahovac
• Mentor: Nikolai N. Leonenko https://orcid.org/0000-0003-1932-4091 (mentor)
• Mentor: Mirta Benšić (komentor)
• Član povjerenstva: Bojan Basrak (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mirta Benšić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Miljenko Huzak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nikolai N. Leonenko https://orcid.org/0000-0003-1932-4091 (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nenad Šuvak (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-04-17, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

Scaling properties of stochastic processes refer to the behavior of the process at different time scales and distributional properties of its increments with respect to aggregation. In the first part of the thesis, scaling properties are studied in different settings by analyzing the limiting behavior of two statistics: partition function and the empirical scaling function. In Chapter 2 we study asymptotic scaling properties of weakly dependent heavy-tailed sequences. These results are applied on the problem of estimation of the unknown tail index. The proposed methods are tested against some existing estimators, such as Hill and the moment estimator. In Chapter 3 the same problem is analyzed for the linear fractional stable noise, which is an example of a strongly dependent heavy-tailed sequence. Estimators will be developed for the Hurst parameter and stable index, the main parameters of the linear fractional stable motion. Chapter 4 contains an overview of the theory of multifractal processes, which can be characterized in several di erent ways. A practical problem of detecting multifractal properties of time series is discussed from the point of view of the results of the preceding chapters. The last Chapter 5 deals with the fine scale properties of the sample paths described with the so-called spectrum of singularities. The new results are given relating scaling properties with path properties and applied to different classes of stochastic processes.

Sažetak (hrvatski)

Važnost svojstava skaliranja slučajnih procesa prvi je put istaknuta u radovima Benoita Mandelbrota. Najpoznatije svojstvo skaliranja u teoriji slučajnih procesa je sebi-sličnost. Pojam multifraktalnosti pojavio se kasnije kako bi opisao modele s bogatijom strukturom skaliranja. Jedan o d načina kako se skaliranje može izučavati jest korištenjem momenata procesa i tzv. funkcije skaliranja. Multifraktalni procesi mogu se karakterizirati kao procesi s nelinearnom funkcijom skaliranja. Ova j pristup prirodno nameće jednostavnu metodu detekcije multifraktalnih svojstava procjenjivanjem funkcije skaliranja korištenjem tzv. particijske funkcije. Prvi dio ovog rada bavi se statističkim svojstvima takvih procjenitelja s obzirom na različite pretpostavke. Najprije će se analizirati asimptotsko ponašanje empirijske funkcije skaliranja za slučaj slabo zavisnih nizova s teškim repovima. Preciznije, promatrat će se stacionarni nizovi sa svojstvom eksponencijalno brzog jakog miješanja koji imaju marginalne distribucije u klasi distribucija s teškim repovima. Dobiveni rezultati bit će iskorišteni za definiranje metoda procjene repnog indeksa te će biti napravljena usporedba s postojećim procjeniteljima kao što su Hillov i momentni procjenitelj. Osim toga, predložit ćemo i grafičku metodu temeljenu na obliku procijenjene funkcije skaliranja koja može detektirati teške repove u uzorcima. U sljedećem koraku analizirat će se asimptotska svojstva funkcije skaliranja na jako zavisnim stacionarnim nizovima. Za primjer takvog niza koristit ćemo linearni frakcionalni stabilni šum čija svojstva su određena s dva parametra, indeksom stabilnosti i Hurstovim parametrom. Pokazat ćemo da u ovom slučaju funkcija skaliranja ovisi o vrijednostima ta dva parametra. Na osnovu tih rezultata, definirat će se metode za isto dobnu procjenu oba parametra koje predstavlja ju alternativu standardnim procjeniteljima. U drugom dijelu rada prethodno uspostavljeni rezultati će biti analizirani s aspekta multifraktalnih slučajnih procesa. U prvom redu, dobiveni rezultati pokazuju da nelinearnosti pro cijenjene funkcije skaliranja mogu biti posljedica teških repova distribucije uzorka. Takav zaključak dovodi u pitanje metodologiju temeljenu na particijskoj funkciji. Svojstva skaliranja često se isprepliću sa svojstvima putova procesa. Osim u terminima globalnih karakteristika kao što su momenti, multifraktalni slučajni procesi često se definira ju i u terminima lokalnih nepravilnosti svojih trajektorija. Nepravilnosti u trajektorijama mogu se mjeriti formiranjem skupova vremenskih točaka u kojima put procesa ima isti Hölderov eksponent u točki. Hausdorffova dimenzija takvih skupova u ovisnosti o Hölderovom eksponentu naziva se spektar singulariteta ili multifraktalni spektar. Multifraktalni slučajni procesi mogu se karakterizirati kao procesi koji imaju netrivijalan spektar, u smislu da je spektar konačan u više od jedne točke. Dvije definicije mogu se povezati tzv. multifraktalnim formalizmom koji predstavlja tvrdnju da su funkcija skaliranja i spektar singulariteta Legendreova transformacija jedno drugoga. Brojna istraživanja usmjerena su na uvjete pod kojima multifraktalni formalizam vrijedi. Spektar singulariteta dosad je izveden za mnoge primjere slučajnih procesa, kao što su frakcionalno Brownovo gibanje, Lévyjevi procesi i multiplikativne kaskade. Rezultati o asimptotskom obliku funkcije skaliranja pokazat će da u nekim slučajevima procjena beskonačnih momenata može dati točan spektar korištenjem multifraktalnog formalizma. Ova činjenica motivira dublje istraživanje odnosa između momenata i svojstava trajektorija kojim se bavimo u posljednjem dijelu rada. Hölder neprekidnost i skaliranje momenata povezani su poznatim Kolmogorovljevim teoremom neprekidnosti. S druge strane, dokazat ćemo svojevrsni komplement Kolmogorovljevog teorema koji povezuje momente negativnog reda s izostankom Hölder neprekidnosti trajektorije u svakoj točki. Ova tvrdnja bit će dodatno pojačana formulacijom u terminima momenata negativnog reda maksimuma nekog fiksnog broja prirasta procesa. Iz ovih rezultata, između ostalog, slijedit će da sebi-slični procesi s konačnim momentima imaju trivijalan spektar (npr. frakcionalno Brownovo gibanje). Obratno, svaki sebi-sličan proces s netrivijalnim spektrom mora imati teške repove (npr. stabilni Lévyjevi procesi). Dobiveni rezultati sugeriraju prirodnu modifikaciju particijske funkcije koja će biti testirana na nizu primjera.

• Ključne riječi: partition function; scaling function; heavy-tailed distributions; tail index; linear fractional stable motion; Hurst parameter; multifractality; Hölder continuity; spectrum of singularities
• Ključne riječi (hrvatski): particijska funkcija; funkcija skaliranja; distribucije s teškim repovima; repni indeks; linearno frakcionalno stabilno gibanje; Hurstov parametar; multifraktalnost; Hölder neprekidnost; spektar singulariteta
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:146557
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: vii, 112 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-03-08 11:39:34