Neponištavanja Poincaréovih redova na metaplektičkoj grupi i primjene

disertacija

• Naslov (engleski): Non-vanishing of Poincaré series on the metaplectic group and applications
• Autor: Sonja Žunar
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Muić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ivica Gusić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-05-28, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

U ovoj se disertaciji proučava neponištavanje Poincaréovih redova na metaplektičkom natkrivaču, \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\), grupe \(SL_2(\mathbb{R})\) i istražuju se primjene tih redova u teoriji modularnih formi polucijele težine. Pritom se koriste tri osnovna alata: Harish-Chandrin pristup teoriji reprezentacija povezanih poluprostih Liejevih grupa s konačnim centrom, klasična korespondencija između kusp-formi polucijele težine i kuspidalnih automorfnih formi na grupi \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) i integralni kriterij neponištavanja za Poincaréove redove na lokalno kompaktnim Hausdorffovim grupama koji je dokazao G. Muić. U disertaciji su pomoću Poincaréovih redova \(K\)-konačnih matričnih koeficijenata integrabilnih reprezentacija grupe \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) konstruirani sustavi izvodnica za prostore kusp--formi polucijele težine \(m \geq \frac{5}{2}\). Dokazana je i formula za Peterssonov skalarni produkt spomenutih Poincaréovih redova s proizvoljnom kuspidalnom automorfnom formom na \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) iste težine. Iz te formule i njena dokaza proizašao je niz rezultata o kusp-formama polucijele težine. Nadalje, dokazane su blago ojačane varijante Muićeva integralnog kriterija neponištavanja za Poincaréove redove na Liejevim grupama i za Poincaréove redove polucijele težine na gornjoj kompleksnoj poluravnini. Njihovom su primjenom dokazani rezultati o neponištavanju Poincaréovih redova pridruženih \(K\)-konačnim matričnim koeficijentima integrabilnih reprezentacija grupe \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) i pripadnih kusp-formi polucijele težine, rezultati o neponištavanju nekih klasičnih Poincaréovih redova polucijele težine i rezultati o neponištavanju \(L\)-funkcija pridruženih kusp-formama polucijele težine \(m \geq \frac{9}{2}\) u točkama pruge \(\mathbb{C}_{\frac{m}{2} < \Re (s) < m-1}\).

Sažetak (engleski)

In this thesis, we study the non-vanishing of Poincaré series on the metaplectic cover, \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\), of \(SL_2(\mathbb{R})\) and investigate their applications in the theory of modular forms of halfintegral weight. Our methods rely on the following three tools: Harish-Chandra’s approach to representation theory of connected semisimple Lie groups with finite center, the classical correspondence between cusp forms of half-integral weight and cuspidal automorphic forms on \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\), and the integral non-vanishing criterion for Poincaré series on locally compact Hausdorff groups that was proved by G. Muić. In the thesis, we use the Poincaré series of \(K\)-finite matrix coefficients of integrable representations of \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) to construct spanning sets for spaces of cusp forms of halfintegral weight \(m \geq \frac{5}{2}\). We prove a formula for the Petersson inner product of these Poincaré series with any cuspidal automorphic form on \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) of the same weight. From this formula and its proof, we derive a series of results on cusp forms of half-integral weight. Next, we prove strengthened variants of Muić’s integral non-vanishing criterion for Poincaré series on Lie groups and for Poincaré series of half-integral weight on the upper half-plane. Using these criteria, we prove results on the non-vanishing of Poincaré series of \(K\)-finite matrix coefficients of integrable representations of \(SL_2(\mathbb{R})^{\sim}\) and of corresponding cusp forms, results on the non-vanishing of some classical Poincaré series of half-integral weight, and results on the non-vanishing of \(L\)-functions associated to cusp forms of halfintegral weight \(m \geq \frac{9}{2}\) in points of the strip \(\mathbb{C}_{\frac{m}{2} < \Re (s) < m-1}\).

• Ključne riječi: neponištavanje Poincaréovih redova; metaplektički natkrivač grupe \(SL_2(\mathbb{R})\); modularne forme polucijele težine; \(K\)-konačni matrični koeficijenti; \(L\)-funkcije kusp-formi polucijele težine
• Ključne riječi (engleski): non-vanishing of Poincaré series; metaplectic cover of \(SL_2(\mathbb{R})\); modular forms of half-integral weight; \(K\)-finite matrix coefficients; \(L\)-functions associated to cusp forms of half-integral weight
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:792242
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: xi, 171 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-03-22 12:39:23