Routhov teorem i njegova poopćenja

diplomski rad

• Autor: Tea Mršić
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Pavle Pandžić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Matija Kazalicki (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Radunović (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-11-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Središnja tema ovog rada je teorem koji se uobičajeno pripisuje istaknutom engleskom matematičaru E. J. Routhu, jer smatra se da je on prvi eksplicitno iskazao taj rezultat i to kao popratnu bilješku, bez dokaza, u svojoj knjizi iz područja statike. Ako se vrhovi trokuta \(ABC\) spoje s odabranim trima točkama na suprotnim stranicama, međusobna sjecišta tih spojnica omeđuju trokut \(PQR\). Routh je dao formulu za omjer površina trokuta \(PQR\) i \(ABC\), koja se lako pretvori u funkciju djelišnih omjera \(r, s\) i \(t\), određenih točkama odabranima na stranicama. Mogućnost pristupa pomoću različitih metoda, kao i očigledna srodnost s klasičnim Menelajevim i Cevinim teoremom potaknule su brojne matematičare da pronađu nove dokaze i poopćenja Routhove formule. U radu je prikazan dio tih rezultata, uključujući objedinjenje Menelajevog i Cevinog teorema uvođenjem tzv. poopćenog Routhovog trokuta. U završnom poglavlju izložen je trodimenzionalni analogon Routhovog teorema, u kojem se za tetraedar dobiva rezultat koji u potpunosti odgovara osnovnoj formuli za trokut.

Sažetak (engleski)

The central topic of this thesis is a theorem that is usually attributed to the outstanding English mathematician E. J. Routh, since he was apparently the first one to publish that particular statement. It was included as a helpful note, without a proof, in his book on statics. If the vertices of a triangle \(ABC\) are joined to three points chosen on the opposite sides, another triangle \(PQR\) is formed by mutual intersection points of these segments. Routh gave a formula for the ratio of the areas of \(PQR\) and \(ABC\), which can be easily transformed into a function of the ratios \(r, s\) and \(t\), determined by the points chosen on the sides. The possibility of different approaches by various methods, as well as its obvious connection to the classical theorems of Menelaus and Ceva, prompted numerous mathematicians to find new proofs and generalizations of Routh’s formula. Some of these results are presented here, including a unification of Menelaus’ and Ceva’s theorem by introducing a so-called generalized Routh’s triangle. The final chapter is dedicated to a three-dimensional analogue of Routh’s theorem, valid for any tetrahedron and entirely corresponding to the basic formula for a triangle.

• Ključne riječi: Routhov teorem; trokut; Menelajev teorem; Cevin teorem
• Ključne riječi (engleski): Routh’s theorem; triangle; Menelaus’ theorem; Ceva’s theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:885083
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-06-07 13:13:45