Konveksne funkcije i njihova poopćenja u realnoj analizi

diplomski rad

• Autor: Viktor Vranar
• Mentor: Jadranka Mićić Hot (mentor)
• Mentor: Sanja Varošanec (mentor)
• Član povjerenstva: Jadranka Mićić Hot (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin Šipuš (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-09-26, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Pojam i svojstva konveksnih funkcija relativno su mladi u području matematike. Tek u 19. stoljeću danski matematičar J.L.W.V. Jensen počeo je pisati radove koji sadrže konveksne funkcije kao zasebnu ideju. Jensena zato nazivamo začetnikom toga područja. Navedimo ovdje osnovnu definiciju konveksne funkcije. Neka je \(I \subseteq \mathbb{R}\) interval. Kažemo da je funkcija \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) konveksna ako za svaki izbor točaka \(x, y\in I\) i svaki \(t\in [0,1]\) vrijedi \[ f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y). \] U prvom poglavlju uveli smo pojam konveksnih funkcija te jednu ekvivalentnu karakterizaciju. Zatim smo naveli nekoliko karakterizacija konveksnih funkcija te najvažniji rezultat vezan uz konveksne funkcije- Hermite-Hadamardovu nejednakost. Pokazali smo i da je njezina lijeva nejednakost jaca od desne. Zatim smo dokazali ekvivalentnost konveksnosti i Hermite-Hadamardove nejednakosti. Vidjeli smo da cak i samo lijeva ili samo desna strana Hermite-Hadamardove nejednakosti povlače konveksnost. U drugom poglavlju bavili smo se poopćenjima pojma konveksnosti funkcije. Najprije smo uveli pojam logaritamski konveksnih funkcija te oblik Hermite-Hadamardove nejednakosti za logaritamski konveksne funkcije. Zatim smo definirali i dokazali neka svojstva i Hermite-Hadamardov tip nejednakosti za log-konveksne funkcije. Slično smo nastavili redom za ova poopćenja konveksnih funkcija: eksponencijalno konveksne funkcije, superkvadratne funkcije, preinveksne funkcije, h-konveksne funkcije, r-konveksne funkcije te naposljetku jako konveksne funkcije.

Sažetak (engleski)

Definition and properties of convex functions are relatively new in mathematics. Only in 19th century a Danish mathematican J.L.W.V. Jensen started doing research and publishing works that contained convex functions as a new concept. For that reason we call Jensen the originator of this area. Let us define convex functions. Let \(I \subseteq \mathbb{R}\) be an interval. We say that a function \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) is convex if for every \(x, y\in I\) and every \(t\in [0,1]\) holds inequality \[ f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y). \]: In the first chapter we’ve introduced a concept of convex functions and one equivalent statement. Then we’ve introduced few characterizations of convex functions as well as the most important result in the area, which is the Hermite-Hadamard inequality. We have also showed that its left side is stronger than its right one. We have then proved equivalence of convex and the Hermite-Hadamard inequality. We have also seen that either left or right side implies convexity. In the second chapter we have been studying generalisations of convex functions. First we have introduced a term of logarithmically convex functions. Then we have defined and proved some properties and Hermite-Hadamard type inequality for log-convex functions. We have continued in similar order for: exponentially convex functions, superquadratic functions, preinvex functions, h-convex functions, r-convex functions and, at last, strongly convex functions.

• Ključne riječi: konveksne funkcije; Jensen; Hermite-Hadamardova nejednakost
• Ključne riječi (engleski): convex functions; Jensen; Hermite-Hadamard inequality
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:054349
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-07-05 11:51:43