| Sažetak | kvantnoj mehanici, sustav je u prostoru i vremenu opisan valnom funkcijom Ψ (q,t). Za izračun svojstava sustava potrebno je riješiti Schrödingerovu jednadžbu. Valna funkcija prema tome mora zadovoljavati tu jednadžbu, tj. mora biti njezino rješenje. Budući da su vrijeme i prostorne koordinate nezavisne varijable (možemo ih nezavisno mijenjati), Schrödingerova jednadžba se može rastaviti na dva faktora: vremenski neovisnu ili stacionarnu Schrödingerovu jednadžbu koja ovisi samo o položajnim koordinatama i vremenski faktor. Vremenski neovisna ili stacionarna Schrödingerova jednadžba predstavlja osnovnu jednadžbu za određivanje energetskih stanja sustava u stacionarnim stanjima (Ĥψ(q) = Eψ(q)).
Nametanje uvjeta na valnu funkciju da mora biti kontinuirana na cijelom svom definicijskom prostoru (čestica u kutiji) i jednoznačna (čestica na prstenu i čestica na kugli), dovodi nas do izbora samo malog broja mogućih rješenja Schrödingerove jednadžbe za te sustave. To su sustavi u kojima je kretanje čestice prostorno ograničeno. Tzv. rubni uvjeti dovode do pojave kvantnih brojeva koji jednoznačno određuju valne funkcije i pripadne energije. Kvantni brojevi ograničavaju observable na diskretne vrijednosti. To jest, kvantizacija je posljedica rubnih uvjeta. Najčešće govorimo o kvantizaciji energijskih razina, ali postoji i kvantizacija kutne količine gibanja oko jedne osi (koja se uobičajeno označava z). To možemo vidjeti na primjeru čestice u prstenu. Kod čestice u sferi se pojavljuju dva kružna rubna uvjeta koja se trebaju zadovoljiti. To dovodi do pojave zvane prostorna kvantizacija, koja ukazuje na to da rotirajuće tijelo ne može zauzeti proizvoljnu orijentaciju s obzirom na neku specifičnu os.
U sustavima koji imaju visok stupanj simetrije se pojavljuje degeneracija energijskih razina. Ona ukazuje na to da se isto energijsko stanje može opisati sa više različitih valnih funkcija. To je posljedica toga što je pojedina energijska razina proporcionalna ili zbroju kvadrata pojedinih kvantnih brojeva n (čestica u 2D- i 3D- kutiji), pa se različiti kvantni brojevi mogu kombinirati na različite načine da im zbroj kvadrata ostane isti, ili kvadratu kvantnog broja ml (primjer čestice na prstenu). Kvantni broj čestice u 1D-kutiji ima vrijednosti n=1,2,.... Degeneracija energijskih razina kod čestice u prstenu (za ml ≠ 0) je posljedica toga što čestica može putovati oko prstena s jednakom kinetičkom energijom u oba smjera (kvantni broj ml = 0,±1,±2,...). Energijske razine kod čestice u sferi su proporcionalne umnošku l(l+1) pa je svaka energijska razina (2l + 1)-struko degenerirana. To jest, za svaku vrijednost orbitalnog kvantnog broja kutne količine gibanja, l, postoji 2l + 1vrijednosti kvantnog broja ml (ml = l, l-1,...,-l) ). Kod čestice u prstenu i čestice u sferi ne postoji nulta točka energije, dok čestica u 1D-kutiji ima najnižu neuklonjivu energiju E1=h2/8mL2.
Gustoća vjerojatnosti za koordinate položaja, tj. |ψ|2, nam govori o najvjerojatnijoj raspodjeli čestice u prostoru. Kod čestice u 1D-kutiji se čini kao da čestica izbjegava zidove pri nižim kvantnim brojevima, dok je pri višim kvantnim brojevima raspodjela više jednolika po cijelom prostoru. To je primjer načela korespondencije u kojem se stanja klasične mehanike pojavljuju iz kvantne mehanike pri višim kvantnim brojevima. Kod čestice u prstenu i čestice u sferi je azimutalna raspodjela jednolika: određenost u vrijednosti kutne količine gibanja podrazumijeva totalnu neodređenost u lokaciji čestice. Klasični opis za ta dva sustava se dobije kada se čestica postavi da se vrti s neprecizno definiranom energijom. U tom slučaju, njezina valna funkcija je valni paket oblikovan iz superpozicije ili svojstvenih valnih funkcija kutne količine gibanja (čestica u prstenu), ili sfernih harmonika (čestica u sferi). Kod čestice u prstenu valni se paket kreće po prstenu kao lokacija klasične čestice. Međutim, širi se s vremenom. Kod čestice u sferi valni se paket kreće u slaganju s predviđanjima klasične fizike i putuje kroz sve kutove, ali se također širi s vremenom. |
