Baireovi prostori i primjene

diplomski rad

• Autor: Matija Ivičinec
• Mentor: Ilja Gogić (mentor)
• Član povjerenstva: Ilja Gogić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Rudi Mrazović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vjeran Hari (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Eduard Marušić-Paloka (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2019-07-15, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Baireov teorem o kategoriji važan je teorem u matematici koji se često primjenjuje pri dokazivanju egzistencije elemenata koje je teško vizualizirati. Grubo govoreći, skupove metričkog prostora svrstavamo u tri kategorije. Skupovi prve kategorije su skupovi koje smatramo "malima" odnosno zanemarivima u promatranom prostoru. Skupovi druge kategorije su oni skupovi koji nisu "mali", dok su rezidualni skupovi oni koje smatramo "velikima". Baireovi prostori definirani su kao metrički prostori u kojima je svaki rezidualan skup gust. Baireov teorem o kategoriji kaže da je svaki potpun metrički prostor Baireov prostor. U ovom radu dokazujemo Baireov teorem o kategoriji te dajemo razne primjere vezane uz spomenute koncepte. U zadnjem poglavlju rada prikazane su neke zanimljive primjene Baireovog teorema o kategoriji. Između ostalog, dokazujemo da su generičke neprekidne funkcije \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) nigdje derivabilne.

Sažetak (engleski)

The Baire category theorem is an important theorem in mathematics which is often used in proving existence of elements which are hard to visualize. Speaking loosely, sets of a metric space are divided into three categories. Sets of the first category are sets that are considered as ”small” or negligible in the observed space. Sets of the second category are those that are not ”small”, while the residual sets are considered ”large”. We define a Baire space as a metric space in which every residual set is dense. The Baire category theorem states that every complete metric space is a Baire space. In this thesis we prove the Baire category theorem and we present various examples of the mentioned concepts. In the last chapter of the thesis we present some interesting applications of the Baire category theorem. Among other things, we prove that generic continuous functions \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) are nowhere differentiable.

• Ključne riječi: Baireov teorem; skupovi metričkog prostora; Baireov teorem o kategoriji
• Ključne riječi (engleski): Baire category theorem; sets of a metric space
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:150666
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-09-30 08:55:56