Diofantove četvorke sa svojstvom D(n)

diplomski rad

• Autor: Stela Barović
• Mentor: Zrinka Franušić (mentor)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Tomislav Pejković (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vinko Petričević (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2020-09-29, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Neka je \(n\) cijeli broj. Skup cijelih brojeva različitih od nule \(\{a_1, a_2, a_3, a_4\}\) je Diofantova četvorka sa svojstvom \(D(n)\) ako je umnožak bilo koja dva elementa tog skupa uvećan za cijeli broj \(n\) jednak potpunom kvadratu. Dva važna povijesna primjera takvih skupova su \(\{1, 33, 68, 105 \}\) - \(D(256)\)-četvorka (koju je dobio grčki matematičar Diofant Aleksandrijski) te \(\{1, 3, 8, 120\}\) - \(D(1)\)-četvorka (koju je pronašao je francuski matematičar Pierre de Fermat) U ovom radu razmatramo problem postojanja Diofantove četvorke za proizvoljni cijeli broj \(n\). Pokazujemo da Diofantova četvorka sa svojstvom \(D(n)\) postoji ako i samo ako je \(n \not\equiv 2 (mod 4)\), tj. ako i samo ako se \(n\) može prikazati kao razlika kvadrata dva cijela broja, do na konačno mnogo izuzetaka.

Sažetak (engleski)

Let \(n\) be an integer. A set of four nonzero integers \(\{a_1, a_2, a_3, a_4\}\) is a Diophantine quadruple with the property \(D(n)\), or just a \(D(n)\)-quadruple if the product of its any two distinct elements increased by \(n\) is a perfect square. Two significant historical examples of such sets are \(\{1, 33, 68, 105 \}\)- a \(D(256)\)-quadruple (obtained by the Greek mathematician Diophantus of Alexandria) and \(\{1, 3, 8, 120\}\) - a \(D(1)\)-quadruple (found by the French mathematician Pierre de Fermat). In this thesis, we consider the problem of existence of Diophantine quadruples for an arbitrary integer \(n\). We show that there exists a Diophantine quadruple with the property \(D(n)\) if and only if \(n \not\equiv 2 (mod 4)\), i.e. if and only if \(n\) can be represented as a difference of squares of two integers, up to finitely many exceptions.

• Ključne riječi: Diofantova četvorka; Diofant Aleksandrijski; Pierre de Fermat
• Ključne riječi (engleski): Diophantine quadruple; Diophantus of Alexandria; Pierre de Fermat
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:745670
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2021-03-03 11:55:25