Generalized inverse limits and topological entropy

doctoral thesis

• Title (croatian): Generalizirani inverzni limesi i topološka entropija
• Author: Goran Erceg; MBZ: 320584
• Mentor: Judy Kennedy (mentor); VIAF: 36286803
• Mentor: Vlasta Matijević (komentor)
• Committee member: Judy Kennedy (predsjednik povjerenstva); VIAF: 36286803
• Committee member: Iztok Banič (član povjerenstva); VIAF: 306435643
• Committee member: Sonja Štimac (član povjerenstva)
• Committee member: Zvonko Iljazović (član povjerenstva)
• Committee member: Vlasta Matijević (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2019, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

Generalized inverse limits are generalization of standard inverse limits in a way that in the corresponding inverse system bonding functions are upper semicontinuous (u.s.c.) functions instead of continuous functions. Concept was introduced in 2004 in [31] and later in 2006 in [28] and since then, theory has been developing rapidly. In the first part we introduce categories CHU and CU in which u.s.c. functions are morphisms and compact Hausdorff and compact metric spaces, respectively, are objects. We also introduce the category ICU of inverse sequences in CU. Then we investigate the induced functions between inverse limits of compact metric spaces with u.s.c. bonding functions. We also show that taking such inverse limits is very close to being a functor (but is not a functor) from ICU to CU, if morphisms are mapped to induced functions. At the end of the third chapter we give a useful application of the mentioned results. In the second part new definition of topological entropy is considered, in which is used Mahavier product, introduced in [19]. It is shown that new notion is well defined and that is in line with previous definitions for regular functions [41], using entropy of the shift map. Then, entropy of various examples is calculated, new ones and some well known. Finally, some new results about generalized inverse limits are shown using newly defined objects.

Abstract (croatian)

Inverzni limesi su imali ključnu ulogu u razvoju teorije kontinuuma u prošlom stoljeću. Također su bili važni i u dinamičkim sustavima. Jedan od razloga za to je njihovo svojstvo da inverzni nizovi s jednostavnim prostorima i jednostavnim veznim preslikavanjima mogu inducirati komplicirane prostore kao njihove inverzne limese. U dinamičkim sustavima, inverzni limesi se koriste za "kodiranje", na neki način, kompliciranih dinamičkih sustava. Generalizirani inverzni limesi su poopćenje standardnih inverznih limesa na način da u pripadajućem inverznom sustavu vezna preslikavanja nisu neprekidne funkcije nego odozgo poluneprekidne funkcije. Pojam je uveden u [31] 2004. godine, a zatim 2006. godine u [28] razvijen do forme koja se danas koristi. Od tada se teorija intenzivno razvija. U prvom dijelu rada se kategorijski opisuju ti objekti i ispituje se koje se tvrdnje iz standardnog slučaja mogu poopćiti, te se primjenjuje dobivene rezultate na neke konkretne slučaje. Uvodimo dvije kategorije, CHU i CU. Objekti u CHU su kompaktni Hausdorffovi prostori s odozgo poluneprekidnim funkcijama (skraćeno u.s.c.) kao morfizmima, a CU je potkategorija od CHU, s istim morfizmima i kompaktnim metričkim prostorima kao objektima. Pokazuje se da u kategoriji CHU inverzni limes inverznog sistema (s usmjerenim indeksnim skupom) s u.s.c. višeznačnim funkcijama (kako su ih definirali Ingram i Mahavier) zajedno s projekcijama nije nužno inverzni limes u CHU, ali je takozvani slabi inverzni limes, [10]. Nadalje, razmatraju se inverzni nizovi u kategoriji CU i dokazuje da s odgovarajućim morfizmima čine kategoriju, označenu s ICU. Promatraju se morfizmi između dvaju inverznih limesa, inducirani odgovarajućim morfizmima u kategoriji ICU: Dokazuju se nužni i dovoljni uvjeti za njihovu egzistenciju i njihova svojstva. Nadalje, razmatra se standardno pridruživanje između inverznog niza i njegovog inverznog limesa i pokazuje da nije funktor iz kategorije ICU inverznih nizova u kategoriju CU, ali je jako blizu istom. Naposljetku, na kraju trećeg poglavlja se pokazuje primjena navedenih rezultata. U drugom dijelu rada se razmatra poopćenje pojma topološke entropije na zatvorene podskupove od \([0, 1]^2\) koristeći Mahavierov produkt, uveden u [19]. Pokazuje se da je nova definicije topološke entropije zaista dobra i koristeći entropiju tzv. funkcije pomaka (funkcija u uobičajenom smislu) pokazuje se da je usklađena s prijašnjim definicijama entropije. Naime ako je dana neprekidna funkcija \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) i zatvoreni podskup od \([0, 1]^2\) kao graf od \(f^{ -1}\), nova i tradicionalna topološka entropija su jednake. Zatim se pokazuju razna svojstva za novu definiciju koja se uspješno mogu poopćiti iz teorije s funkcijama te se proširuje definicija na zatvorene podskupove konačnih produkata jediničnog segmenta \([0, 1]\). Na kraju primjenjujemo dobivene rezultate za računanje entropije raznih primjera, važnih u teoriji o generaliziranim inverznim limesima i nekih novih.

• Keywords: category; hyperspace; inverse system; inverse limit; upper semicontinuous function; generalized inverse limit; Mahavier product; topological entropy
• Keywords (croatian): kategorija; hiperprostor; inverzni sustav; inverzni limes; odozgo poluneprekidna funkcija; generalizirani inverzni limes; Mahavierški produkt; topološka entropija
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:679025
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: iii, 103 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2019-03-08 10:48:25