Title Self-dual and LCD codes from two class association schemes Title (croatian) Samodualni i LCD kodovi iz asocijacijskih shema s dvije klase Author Ana Grbac Mentor Dean Crnković (mentor)Committee member Vedran Krčadinac (predsjednik povjerenstva)Committee member Vedrana Mikulić Crnković (član povjerenstva)Committee member Dean Crnković (član povjerenstva)Committee member Andrea Švob (član povjerenstva)Granter University of Zagreb Defense date and country 2020-11-12, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Universal decimal classificationUDC ) 51 - Mathematics Abstract The main subjects of the thesis are LCD codes constructed from two class association schemes, i.e. from adjacency matrices of strongly regular graphs and doubly regular tournaments. In this thesis, we describe two methods of construction of self-dual codes. Firstly, a method of constuction of quadratic double circulant codes which was given by P. Gaborit in [28]. A method introduced by S. T. Dougherty, J.-L. Kim and P. Solé in [26] represents its generalization and it refers to the construction of self-dual codes from two class association schemes. We analyse some examples of self-dual codes obtained from Paley designs and Paley graphs. Further, we develop a method of constructing LCD codes from two class association schemes, which is the main contribution of the thesis. This method consists of pure and bordered construction. We show that LCD codes constructed using the pure construction are formally self-dual, and for these codes we present a decoding algorithm. We also give conditions under which the introduced construction method gives LCD codes over the fields \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) and \(\mathbb{F}_4\). Then we analyse some LCD codes obtained using this method of construction from some families of strongly regular graphs which include line graphs of complete graphs and bipartite complete graphs, some special strongly regular graphs such as the Petersen, Shrikhande, Clebsch, Hoffman-Singleton, Gewirtz graph and the Chang graphs, block graphs of Steiner triple systems, graphs obtained from orthogonal arrays and rank three permutation groups. Lastly, we construct LCD codes from some doubly regular tournaments. All obtained codes are constructed and analysed using the software package Magma.
Abstract (croatian) Predmet istraživanja doktorske disertacije su LCD kodovi konstruirani iz asocijacijskih shema s dvije klase tj. iz matrica susjedstva jako regularnih grafova i dvostruko regularnih turnira. U doktorskoj disertaciji opisane su dvije metode konstrukcija samodualnih kodova. Prva metoda prikazuje konstrukciju kvadratnih dvostruko cirkularnih kodova koji koriste kvadratne reziduale, a uveo ju je P. Gaborit u radu [28]. Druga metoda predstavlja generalizaciju prve metode, a odnosi se na konstrukciju samodualnih kodova iz asocijacijskih shema s dvije klase koju su uveli S. T. Dougherty, J.-L. Kim i P. Solé u radu [26]. U disertaciji analiziramo kodove dobivene iz Paleyevih dizajna i Paleyevih grafova primjenom tih dviju metoda. Nadalje, u disertaciji je razvijena metoda konstrukcije LCD kodova iz asocijacijskih shema s dvije klase, što čini glavni znanstveni doprinos rada. Metoda se sastoji od čiste i omeđene konstrukcije. Dokazano je da su LCD kodovi konstruirani iz čiste konstrukcije formalno samodualni i za te kodove je naveden algoritam dekodiranja. Osim toga, navedeni su uvjeti za konstrukciju LCD kodova nad poljima \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) i \(\mathbb{F}_4\). Posebno su analizirani LCD kodovi dobiveni primjenom razvijene metode koristeći se linijskim grafovima potpunih grafova i potpunih bipartitnih grafova, nekim istaknutim jako regularnim grafovima poput Petersenova, Shrikhandeova, Clebschova, Hoffman-Singletonova i Gewirtzova grafa te Changovih grafova, blokovnim grafovima Steinerovih sustava trojki i nekim grafovima dobivenih iz ortogonalnih područja i permutacijskih grupa ranga tri. Na kraju su analizirani LCD kodovi dobiveni iz nekih dvostruko regularnih turnira. Svi su kodovi konstruirani i analizirani nad poljima \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) i \(\mathbb{F}_4\) pomoću programskog paketa Magma.
Keywords
LCD code
self-dual code
formally self-dual code
association scheme
strongly regular graph
doubly regular tournament
Paley design
Paley graph
Steiner triple system
orthogonal array
rank three permutation group
Keywords (croatian)
LCD kod
samodualni kod
formalno samodualni kod
asocijacijska shema
jako regularni graf
dvostruko regularni turnir
Paleyev dizajn
Paleyev graf
Steinerov sustav trojki
ortogonalno područje
permutacijska grupa ranga tri
Language english URN:NBN urn:nbn:hr:217:336230 Promotion 2020 Study programme Title: Mathematics Type of resource Text Extent ix, 151 str. File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2020-12-09 10:20:17
