Self-dual and LCD codes from two class association schemes

disertacija

• Naslov (hrvatski): Samodualni i LCD kodovi iz asocijacijskih shema s dvije klase
• Autor: Ana Grbac
• Mentor: Dean Crnković (mentor)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedrana Mikulić Crnković (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dean Crnković (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Andrea Švob (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2020-11-12, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

The main subjects of the thesis are LCD codes constructed from two class association schemes, i.e. from adjacency matrices of strongly regular graphs and doubly regular tournaments. In this thesis, we describe two methods of construction of self-dual codes. Firstly, a method of constuction of quadratic double circulant codes which was given by P. Gaborit in [28]. A method introduced by S. T. Dougherty, J.-L. Kim and P. Solé in [26] represents its generalization and it refers to the construction of self-dual codes from two class association schemes. We analyse some examples of self-dual codes obtained from Paley designs and Paley graphs. Further, we develop a method of constructing LCD codes from two class association schemes, which is the main contribution of the thesis. This method consists of pure and bordered construction. We show that LCD codes constructed using the pure construction are formally self-dual, and for these codes we present a decoding algorithm. We also give conditions under which the introduced construction method gives LCD codes over the fields \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) and \(\mathbb{F}_4\). Then we analyse some LCD codes obtained using this method of construction from some families of strongly regular graphs which include line graphs of complete graphs and bipartite complete graphs, some special strongly regular graphs such as the Petersen, Shrikhande, Clebsch, Hoffman-Singleton, Gewirtz graph and the Chang graphs, block graphs of Steiner triple systems, graphs obtained from orthogonal arrays and rank three permutation groups. Lastly, we construct LCD codes from some doubly regular tournaments. All obtained codes are constructed and analysed using the software package Magma.

Sažetak (hrvatski)

Predmet istraživanja doktorske disertacije su LCD kodovi konstruirani iz asocijacijskih shema s dvije klase tj. iz matrica susjedstva jako regularnih grafova i dvostruko regularnih turnira. U doktorskoj disertaciji opisane su dvije metode konstrukcija samodualnih kodova. Prva metoda prikazuje konstrukciju kvadratnih dvostruko cirkularnih kodova koji koriste kvadratne reziduale, a uveo ju je P. Gaborit u radu [28]. Druga metoda predstavlja generalizaciju prve metode, a odnosi se na konstrukciju samodualnih kodova iz asocijacijskih shema s dvije klase koju su uveli S. T. Dougherty, J.-L. Kim i P. Solé u radu [26]. U disertaciji analiziramo kodove dobivene iz Paleyevih dizajna i Paleyevih grafova primjenom tih dviju metoda. Nadalje, u disertaciji je razvijena metoda konstrukcije LCD kodova iz asocijacijskih shema s dvije klase, što čini glavni znanstveni doprinos rada. Metoda se sastoji od čiste i omeđene konstrukcije. Dokazano je da su LCD kodovi konstruirani iz čiste konstrukcije formalno samodualni i za te kodove je naveden algoritam dekodiranja. Osim toga, navedeni su uvjeti za konstrukciju LCD kodova nad poljima \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) i \(\mathbb{F}_4\). Posebno su analizirani LCD kodovi dobiveni primjenom razvijene metode koristeći se linijskim grafovima potpunih grafova i potpunih bipartitnih grafova, nekim istaknutim jako regularnim grafovima poput Petersenova, Shrikhandeova, Clebschova, Hoffman-Singletonova i Gewirtzova grafa te Changovih grafova, blokovnim grafovima Steinerovih sustava trojki i nekim grafovima dobivenih iz ortogonalnih područja i permutacijskih grupa ranga tri. Na kraju su analizirani LCD kodovi dobiveni iz nekih dvostruko regularnih turnira. Svi su kodovi konstruirani i analizirani nad poljima \(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3\) i \(\mathbb{F}_4\) pomoću programskog paketa Magma.

• Ključne riječi: LCD code; self-dual code; formally self-dual code; association scheme; strongly regular graph; doubly regular tournament; Paley design; Paley graph; Steiner triple system; orthogonal array; rank three permutation group
• Ključne riječi (hrvatski): LCD kod; samodualni kod; formalno samodualni kod; asocijacijska shema; jako regularni graf; dvostruko regularni turnir; Paleyev dizajn; Paleyev graf; Steinerov sustav trojki; ortogonalno područje; permutacijska grupa ranga tri
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:336230
• Datum promocije: 2020
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: ix, 151 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2020-12-09 10:20:17