Hilbertova nejednakost

diplomski rad

• Naslov (engleski): Hilbert's inequality
• Autor: Karla Krezo
• Mentor: Tomislav Berić (mentor)
• Član povjerenstva: Tomislav Berić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Filip Najman (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2022-03-03, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom diplomskom radu smo izveli Hilbertovu nejednakost te pokazali neke njene primjene. U prvome dijelu rada smo izveli Hilbertovu nejednakost u diskretnom i integralnom obliku te odredili da je optimalna konstanta u oba slučaja jednaka π. Za nejednakost u diskretnom obliku smo ponudili i alternativni dokaz pomoću geometrijske interpretacije. Također, izveli smo poopćenu Hilbertovu nejednakost koja vrijedi za konjugirane potencije p, q > 1 te pokazali da, uz različitu optimalnu konstantu, mogu vrijediti i slične nejednakosti, npr. varijanta s maksimumom koja nastaje zamjenom izraza m + n u nazivniku s max (m, n). Na kraju smo pokazali da je lijeva strana Hilbertove nejednakosti nenegativna. U drugome dijelu smo se bavili primjenama Hilbertove nejednakosti. Za primjene su nam najbitnije Hilbertove matrice pa smo im, nakon što smo ih definirali, iskazali i neka od njihovih važnijih svojstava, poput (anti)simetričnosti i regularnosti. Zatim smo uveli trigonometrijske polinome pomoću kojih smo dokazali još jedan oblik Hilbertove nejednakosti te odredili normu Hilbertovih matrica. Na kraju smo Hilbertovu nejednakost primijenili na integrale polinoma.

Sažetak (engleski)

In this thesis, we derive Hilbert’s inequality and present some of its applications. In the first chapter, we derive Hilbert’s inequality in its discrete and integral forms and determine that in both cases, π is the optimal constant. Additionally, we offer an alternative proof of discrete Hilbert’s inequality using a geometric interpretation. We also derive a generalization of the discrete Hilbert’s inequality for conjugate exponents p, q > 1 and show that similar inequalities, such as the maximum variant where the expression m + n in the denominator on the left side is replaced with max (m, n), also hold. In the end, we prove that the left-hand side of the discrete Hilbert’s inequality is non-negative. In the second chapter, after once again reviewing the key notions, we define Hilbert matrices and state some of their properties, such as (skew)symmetry and regularity. Next, we introduce trigonometric polynomials and use them to prove another form of Hilbert’s inequality, as well as determine the norm of Hilbert matrices. In the end, we apply Hilbert’s inequality to integrals of polynomials.

• Ključne riječi: optimalna konstanta; poopćenja Hilbertove nejednakosti; Hilbertove matrice; trigonometrijski polinomi
• Ključne riječi (engleski): optimal constant; generalizations of Hilbert inequality; Hilbert matrices; trigonometric polynomials
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:775098
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2022-03-28 11:32:43