Takiffova verteks-algebra tipa \(A_1^{(1)}\)

doktorski rad

• Naslov (engleski): Takiff vertex algebra of type \(A_1^{(1)}\)
• Autor: Iva Ćuže
• Mentor: Gordan Radobolja (mentor)
• Član povjerenstva: Dražen Adamović (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Gordan Radobolja (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Slaven Kožić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2024-08-30, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

U ovoj disertaciji proučavamo Takiffovu verteks-algebru tipa \(A_1^{(1)}\) . Na početku konstruiramo vakuum modul \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) za Takiffovu algebru afine Liejeve algebre tipa \(A^{(1)}_1\), a zatim \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) opskrbljujemo strukturom verteks-algebre i algebre verteks operatora. Motivirani rezultatima o bijektivnoj korespondenciji restringiranih modula za afine Liejeve algebre s modulima za univerzalnu afinu verteks-algebru, dokazujemo da su restringirani moduli za Takiffovu algebru afine Liejeve algebre tipa \(A^{(1)}_1\) ujedno i moduli za verteks-algebru \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\). Dodatno, definiramo generalizirani težinski modul, težinski modul i modul najveće težine, kao važne primjere restringiranih modula za Takiffovu algebru afine Liejeve algebre tipa \(A^{(1)}_1\). Algebra verteks operatora \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) je centralnog naboja neovisnog o nivou. Takvo svojstvo imaju algebre verteks operatora pridružene Heisenbergovoj algebri te je dokazano da su sve one međusobno izomorfne za netrivijalne nivoe. U ovoj disertaciji dokazujemo da ista tvrdnja vrijedi za algebre verteks operatora \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) za netrivijalne \(k,\overline{k}\). Nakon konstrukcije neke nove verteks-algebre prirodno je ispitati prostotu. Središnji dio disertacije je posvećen ispitivanju ireducibilnosti vakuum modula \(V^{k,k} (TA_1^{(1)}) : = V^k (TA_1^{(1)})\) iz čega izvodimo zaključak o prostoti. Dokaz se temelji na određivanju Kacove determinante odgovarajuće bilinearne forme, odnosno njenih korijena. Prilikom detaljnijeg proučavanja verteks-algebre od osobite je važnosti poznavanje njezine Zhuove algebre. Stoga određujemo generatore i relacije te identificiramo Zhuovu algebru \(A(V^k (TA_1^{(1)}))\). Na kraju, ispitujemo realizaciju \(W(2,2)\) algebre (ili galilejske konformne algebre) u \(V^k (TA_1^{(1)})\).

Sažetak (engleski)

In this thesis, we study the Takiff vertex algebra of type \(A_1^{(1)}\). In the first part of thesis, we construct a vacuum module \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) for the Takiff algebra of the affine Lie algebra of type \(A^{(1)}_1\), and then we endow \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) with the structure of the vertex algebra and the vertex operator algebra. Motivated by the one-to-one correspondence between the restricted modules for affine Lie algebras and modules for the universal affine vertex algebra, we prove that the restricted modules for the Takiff algebra of the affine Lie algebra \(\hat{\mathfrak{sl}}_2\) are exactly modules for the vertex algebra \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\). In addition, we define generalized weight module, weight module and highest weght module as important example of restricted modules for the Takiff algebra of the affine Lie algebra of type \(A_1^(1)\). The central charge of vertex operator algebra \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\) is level-independent. Vertex operator algebras associated to Heisenberg algebra have this property and all of them are isomorphic for nonzero levels. In this thesis, we prove that this is also true for vertex operator algebras \(V^{k,\overline{k}} (TA_1^{(1)})\)for nonzero complex numbers \(k,\overline{k}\). After construction, it is natural to examine simplicity of vertex algebra. The central part of the dissertation is dedicated to studying the irreducibility of the vacuum module \(V^k (TA_1^{(1)})\) from which we derive the conclusion about simplicity. The proof is based on the calculating roots of the Kac determinant of the corresponding bilinear form. For studying in detail some vertex algebra, it is important to know it’s Zhu algebra. So, we define generators and relations and identify the Zhu algebra \(A(V^k (TA_1^{(1)}))\). Finally, in the last part of thesis, we study realisation of \(W(2,2)\) algebra (or Galilean conformal algebra) in \(V^k (TA_1^{(1)})\).

• Ključne riječi: Takiffova algebra; verteks-algebra; algebra verteks operatora; restringirani moduli; Kacova determinanta; Zhuova algebra
• Ključne riječi (engleski): Takiff algebra; vertex algebra; vertex operator algebra; restricted modules; Kac determinant; Zhu algebra
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:956091
• Datum promocije: 2024
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: doktorski studij; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica u području prirodnih znanosti (dr. sc. natur.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: v, 77 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2024-10-16 08:47:50