Primitivni tetraedri u trodimenzionalnoj cjelobrojnoj rešeci

diplomski rad

• Autor: Nataša Marin
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dražen Adamović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-07-10, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovome radu promatramo primitivne tetraedre u trodimenzionalnoj cjelobrojnoj rešeci. Tetraedar je primitivan ako su mu vrhovi točke rešetke, ali se sadrži niti jednu drugu točku rešetke, niti na rubu niti u unutrašnjosti. Koristimo unimodularno preslikavanje kao glavni alat pomoću kojeg ćemo dokazati većinu rezultata, a naročito je bitno za klasifikaciju primitivnih tetraedara, koja se temelji na unimodularnoj ekvivalenciji. Zatim, radi potpunosti i usporedbe s trodimenzionalnim slučajem, razmatramo poligone u rešeci \(\mathbb{Z}^2\). Ovdje ključnu ulogu za karakterizaciju primitivnih poligona ima glasoviti Pickov teorem koji daje vezu između površine poligona i broja točaka rešetke koje taj poligon sadrži na rubu, odnosno u unutrašnjosti. U trodimenzionalnoj rešeci najprije dajemo karakterizaciju primitivnih tetraedara u terminima unimodularne ekvivalencije. S obzirom da volumen primitivnog tetraedra nije ograničen, ne možemo generalizirati Pickov teorem u tri dimenzije, ali možemo naći formulu za prebrojavanje klasa ekvivalencije primitivnih tetraedara danog volumena.

Sažetak (engleski)

In this paper we study primitive tetrahedra in a three dimensional integer lattice. A tetrahedron is primitive if its vertices are lattice points but it does not contain any other lattice points in its interior or on its boundary. We use unimodular maps as a main mathematical tool to prove most of the results, and especially for classification of primitive tetrahedra, based on unimodular equivalence. Further, we investigate primitive polygons in \(\mathbb{Z}^\)2 so that a comparison could be made with the three dimensional case. A crucial part in this chapter belongs to the famous Pick’s theorem, which gives the relationship between the area of a lattice polygon and the number of lattice points on its boundary and in its interior. In the three dimensional integer lattice, first of all we state a characterization of primitive tetrahedra in terms of unimodular equivalence. Considering that there is no boundary on the volume of a primitive tetrahedron, a generalization of Pick’s theorem to dimension three is impossible, but there is a simple formula that counts the number of equivalence classes of primitive tetrahedra of a given volume.

• Ključne riječi: klsifikacija primitivnih tetraedara; Pickov teorem; unimodularne ekvivalencije
• Ključne riječi (engleski): classification of primitive tetrahedra; Pick’s theorem; unimodular equivalence
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:816990
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-22 10:23:18