Semilinear equations for non-local operators

disertacija

• Naslov (hrvatski): Semilinearne jednadžbe za nelokalne operatore
• Autor: Ivan Biočić
• Mentor: Zoran Vondraček (mentor)
• Član povjerenstva: Vanja Wagner (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Hrvoje Šikić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Azra Tafro (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zoran Vondraček (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2022-09-23, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

This doctoral thesis deals with semilinear equations for non-local operators in bounded domains in higher dimensions: For a bounded domain $D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2$, a non-local operator $L$, and a function $f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, the following problem is being solved $Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D$, (1) where we also impose boundary conditions in $D^c$ and/or on $\partial D$, depending on the type of the non-local operator $L$. The first type of... Više non-local operators that are studied are infinitesimal generators of transient subordinate Brownian motions. Here the domain $D$ can be any bounded domain in $\mathbb{R}^d , d \geq 2$, and we impose boundary conditions both in $D^c$ and on $\partial D$. A Martin representation formula for non-negative generalized harmonic functions is proved and a new type of boundary trace operator for this non-local setting is developed. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions $f$ and conditions on $f$ are given such that there is no solution to (1). The second type of non-local operators that are observed are infinitesimal generators of subordinate killed Brownian motions. Here a smoothness assumption on the boundary of the domain $D$ is imposed as well as the boundary condition on $\partial D$ in addition to (1). An integral representation formula for non-negative harmonic functions is given and also an equivalence between non-negative harmonic functions and non-negative functions that satisfy a certain mean-value property with respect to the underlying subordinate killed Brownian motion is established. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions $f$ and conditions on $f$ are given such that there is no solution to (1). Sakrij dio sažetka

Sažetak (hrvatski)

U ovoj disertaciji proučavaju se semilinearne jednadžbe za nelokalne operatore u omeđenim domenama u višim dimenzijama, tj. u omeđenoj domeni $D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2$, i za nelokalni operator $L$, i funkciju $f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, rješava se sljedeći problem $Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D$, (2) gdje još dodatno, u ovisnosti o tipu nelokalnog operatora $L$, postavljamo i rubne uvjete na $D^c$ i/ili na $\partial D$. Prvi tip nelokalnog operatora... Više koji se promatra je infinitezimalni generator prolaznog subordiniranog Brownovog gibanja pri čemu je Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Problem ( 2) se promatra u proizvoljnoj omeđenoj domeni $D$, a rubni uvjeti su dani i na $D^c$ i na $\partial D$. Kako bi se problem (2) uspješno riješio, prvo se razvijaju pomoćne tehnike i objekti. Proučavaju se generalizirane harmonijske funkcije u odnosu na dani proces subordiniranog Brownovog gibanja te se pokazuje da su takve generalizirane harmonijske funkcije glatke te da ih pripadni operator $L$ poništava u slabom smislu. Također, proučava se i relativna oscilacija kvocijenta generaliziranih harmonijskih funkcija te se uz pomoć toga pokazuje Martinova integralna reprezentacija nenegativnih generaliziranih harmonijskih funkcija. Kao dio dokaza te reprezentacije, definira se i novi tip rubnog operatora, tj. operatora traga, koji je pogodan za analizu semilinearnog problema i za generalnije nelokalne operatore, a definicija mu ne zahtjeva glatkoću ruba domene $D$. Nakon tih pripremnih rezultata, razvija se metoda sub- i superrješenja za (2) koja se potom primjenjuje na nelinearnost $f$ koja zadovoljava ocjenu jf $|f(x,t)| \leq \rho(x) \Lambda (|t|), x \in D, t \in \mathbb{R}$, (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija $\rho$ i $\Lambda$. Glavni oslonac u rješavanju problema (2) je pristup s gledišta teorije potencijala pa je tako rješenje problema (2) prikazano kao suma Greenovog, Poissonovog i Martinovog potencijala. U slučaju glatkog ruba domene $D$, daju se istančaniji uvjeti na funkciju $f$ uz koje problem (2) ima rješenje. Također, daje se i uvjet na $f$ uz koji problem nema rješenja. Kako bi bilo moguće dati ljepše uvjete na $f$ , dobivene su i oštre ograde za Greenov, Poissonov i Martinov integral. Svi rezultati uspoređuju se s poznatim rezultatima u slučaju frakcionalnog Laplaceovog operatora. Drugi tip nelokalnog operatora koji se promatra dolazi kao infinitezimalni generator subordiniranog ubijenog Brownovog gibanja te je i ovdje Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Ovaj operator spektralnog je tipa te se u disertaciji pokazuje da može biti definiran spektralno, točkovno, ali i slabo (distribucijski), uz ekvivalentnost definicije kada operator djeluje na dovoljno glatkim funkcijama. Iz Greenove funkcije za dani nelokalni operator pomoću derivacije na rubu u smjeru normale definira se i Poissonova jezgra. Poissonova jezgra intenzivno se koristi kako bi se pokazala integralna reprezentacija nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na dani nelokalni operator. Također, pokazuje se i 1-1 korespondencija između nenegativnih klasičnih harmonijskih funkcija i nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na promatrano subordinirano ubijeno Brownovo gibanje. Prije nego se napadne semilinearan problem, pokazuje se nekoliko rezultata regularnosti Poissonovog i Greenovog integrala. Semilinearni problem (2) rješava se uz pomoć Katove nejednakosti dokazane u disertaciji za ovaj tip nelokalnog operatora. Razvija se metoda sub- i superrješenja za (2). Metoda se primjenjuje na razne tipove funkcija $f$ gdje je ponovno uvedena pretpostavka da funkcija $f$ zadovoljava ocjenu (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija $\rho$ i $\Lambda$. Osim metode sub- i superrješenja, daje se primjer upotrebe metode monotonih iteracija. Na kraju se promatra specijalan slučaj spektralnog frakcionalnog Laplaceovog operatora te nelinarnost polinomnog tipa $f(x,t)= \pm t^p$ za koje se može dobiti oštra ograda na parametar $p \in \mathbb{R}$ za koju jednadžba ( ˇ 2) ima rješenje, tj. možemo iskazati u kojim slučajevima jednadžba ( ˇ 2) nema rješenje. Sakrij dio sažetka

• Ključne riječi: semilinear differential equations; non-local operators; killed subordinate Brownian motion; subordinate killed Brownian motion; harmonic functions
• Ključne riječi (hrvatski): semilinearne diferencijalne jednadžbe; nelokalni operatori; ubijeno subordinirano Brownovo gibanje; subordinirano ubijeno Brownovo gibanje; harmonijske funkcije
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:490777
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: vii, 174 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2022-10-11 13:06:21