Droz-Farnyjev teorem

diplomski rad

• Autor: Ines Huić
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Luka Grubišić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-07-17, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Švicarski matematičar Arnold Droz-Farny objavio je 1899. godine, bez dokaza, tvrdnju iz geometrije trokuta u euklidskoj ravnini koja je u matematičkoj literaturi postala poznata kao Droz-Farnyjev teorem: Polovišta segmenata koje na stranicama trokuta odsijecaju dva međusobno okomita pravca koji prolaze njegovim ortocentrom tri su kolinearne točke. U ovom radu prikazan je prvi sintetički dokaz osnovnog Droz-Farnyjevog teorema, koji je objavio Aymé 2004. godine, zatim dokazi nekih njegovih poopćenja, među kojima je najvažniji Goormaghtighov teorem iz 1930. godine te još neki zanimljivi rezultati povezani s osnovnim teoremom. Primjerice, Droz-Farnyjevi pravci pridruženi jednom trokutu s obzirom na različite izbore parova okomitih pravaca kroz njegov ortocentar određuju familiju trokuta koji su svi upisani u jednu kružnicu, a opisani jednoj konici te imaju zajednički Eulerov pravac i još neke karakteristične točke. Time je ustanovljeno svojstvo tipa kakav se u geometriji često naziva porizmom, a ovdje je to i poseban slučaj glasovitog Ponceletovog porizma. Na kraju su istaknuti bitni zaključci aksiomatske analize Droz-Farnyjevog i Goormaghtighovog teorema koju su 2016. proveli R. i H. Struve, s gledišta zasnivanja geometrije na pojmu zrcaljenja.

Sažetak (engleski)

The Swiss mathematician Arnold Droz-Farny published in 1899, without a proof, the statement on a property of a triangle in the Euclidean plane geometry that became known in mathematical literature as the Droz-Farny Line Theorem: Two perpendicular lines through the orthocenter of a triangle intercept on the sides of the triangle three segments whose midpoints are collinear. In this paper we present the first purely synthetic proof of the basic Droz-Farny theorem as it was published by Aymé in 2004, as well as proofs of some of its generalizations, among which the theorem of Goormaghtigh from 1930 turned out to be the most important one. We also exhibit some interesting results related to the basic theorem. For example, Droz-Farny lines generated in a triangle by various choices of two perpendicular lines through the orthocenter constitute a family of triangles that all share the circumcircle and an inscribed conic, having the Euler line and some characteristic points in common, too. In this way a certain property is established of the type that in geometry is often called a porism. This one is also a special case of the renowned Poncelet porism. Finally, we indicate the essential conclusions of the axiomatic analysis of the theorems of Droz-Farny and Goormaghtigh as published by R. and H. Struve in 2016, from the viewpoint of the geometry of reflections.

• Ključne riječi: Droz-Farny; Aymé; Goormaghtighov teorem; Ponceletova porizma; Struve
• Ključne riječi (engleski): Droz-Farny; Aymé; Goormaghtighov theorem; Poncelet porism; Struve
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:281830
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-11-28 10:50:07